浅谈伯努利数与$\mathcal{Riemann}\,\zeta$函数

伯努利数

先给出伯努利数的生成函数定义

可以用麦克劳林公式计算前几项伯努利数

可以发现几个显然的规律，接下来依次将证明

一.

$Proof$:

根据伯努利数的定义，可以得到

根据两级数的柯西乘积

可以得到

对照等式两边的系数即可得到

二.

$Proof$:

构造函数

显然$g(x)$使偶函数，所以麦克劳林展开式中的奇次项系数都为零，也就是

$\mathcal{Riemann}\,\zeta$ 函数

在引入 $Riemann\,\zeta$ 函数前，我们需要用刚才伯努利数的结论推一些式子.

回到刚才的$g(x)$.

这也就推出了

令$x=ix$.

根据恒等式

可以得到

同样的，令$x=ix$，可得

终于可以给出$Riemann\,\zeta$函数的定义

只有将偶数代入这个函数才有精确值，下面对$\zeta(2n)$的公式进行推导.

根据这篇文章，我们知道

两边取对数

两边求导（过程省略）

将分式展开

我们又知道

也就是说

对比等式两边$x^{2k-1}$的系数即得

我们也就推出了$\zeta(2k)$的通项

代入$k$的前几个值