泰勒公式

引入

我们知道，当$x \to 0$时，有

然而，当$\left\lvert x \right\rvert$较大时，这些近似公式就变得不准确. 所以，我们就想要构造一个更精确的多项函数来近似表示一些函数. 我们假设一个函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$能近似表达为这样一个多项式

并且满足当$x \to x_0$时$P_n(x)$与$f(x)$之差仅为比$(x-x_0)^n$高阶的无穷小. 假设$P_n(x)$在$x_0$处的$n$阶导数都依次等于$f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}{(x_0)}$，即满足

将这个系数代入$P_n(x)$,可以得到

泰勒公式一

若函数$f(x)$在$x_0$处存在$n$阶导数，那么$\exists \text{ } U(x_0)$，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0)$，有

其中

证明： 记$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$,则

因为$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，所以$f(x)$必在$x_0$某邻域中$(n-1)$阶可导，$R_n(x)$也在该邻域内$(n-1)$阶可导，反复运用洛必达法则，得到

在此公式中，$R_n(x)$被称为佩亚诺余项，虽然它是$o((x-x_0)^n)$，但它不能具体估计误差大小。下面的公式就解决了这个问题.

泰勒公式二

若函数$f(x)$在$x_0$处存在$(n+1)$阶导数，那么$\exists \text{ } U(x_0)$，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0)$，有

其中

且$\xi$是在$x_0$和$x$之间的一个数. 证明该公式需要用到两个密切关联的定理.

两个引证

引证1: 若函数$f(x)$满足 (1)在$[a,b]$上连续; (2)在$(a,b)$上可导; (3)$f(a)=f(b)$ 那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得$f'(\xi)=0$ 这定理可由费马引理得出，这里不证.
引证2: 若函数$f(x)$,$F(x)$满足 (1)在$[a,b]$上连续; (2)在$(a,b)$上可导; 那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$使等式

成立 证明： 构造辅助函数

注意到

所以$\varphi(x)$符合罗尔定理的条件，所以必有一点$\xi \in (a,b)$，使得等式

成立 即

泰勒公式二的证明

回到泰勒公式二的证明，我们有

对函数$R_n(x)$和函数$(x-x_0)^{n+1}$使用柯西中值定理(它们显然符合柯西中值定理的条件).

同理可得

一直像这样进行下去，直到