一元三次和四次方程的求根公式

本文涉及一元三次、四次方程的解法。一元四次方程是有求根公式的最高次方程（这里的求根公式指用$+$,$-$,$\times$,$\frac{m}{n}$,$\sqrt[k]{t}$符号表示的公式），但其推导颇为复杂，所以接下来不妨先从一元三次方程入手。 解这个方程：

两边同时除以$a$后注意到它可以配方变为其他形式。 配方后可以变为:

令

那么可以得到：

令$y=u+v$,则

展开后得到：

$\because u ,v$任取,

$\therefore$令$u v=- \frac{p}{3}$,可得

代入$u v=- \frac{p}{3}$,

然后就可以得到一元三次方程求根公式为：

其中

接下来仿照一元三次方程解一元四次方程

同理可以变为

其中

将等式左边配方

我们希望右边也能配方，所以令其$\Delta=0$,于是

设其根为$y_0$，

其中

$y_0$是方程

的一个解。

至此，我们已经推导出了一元三次、一元四次方程的求根公式。