$\sin{x}$的无穷乘积式

观察以下两个式子:

可以发现

其中$\mathrm{P}(x)$是关于$x$的$n$次多项式.

因为$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin{(2n+1)x}}{\sin{x}}=2n+1$，所以$\mathrm{P}(x)$的常数项为$2n+1$.

同时，$\sin{(2n+1)x}$的根为$\dfrac{k\pi}{2n+1},k\in\mathbb{Z}$，所以$\sin^2{\dfrac{k\pi}{2n+1}},k=1,2,\cdots,n$恰为$\mathrm{P}(x)$的$n$个根.

左边对$n$取极限，使$n\to\infty$.

对于右边，有这一不等式

于是就有

这个式子是否成立与$n$的取值无关，所以代入$n\to\infty$的极限可得

再在两边对$m$取极限，使$m\to\infty$.两边极限都是$1$，所以根据极限夹逼准则，可得

$\cfrac{\sin{x}}{x }$也被称为$\mathrm{sinc}\,x$.