一个像巴塞尔级数的级数

我们知道，所有正整数倒数的平方和的倒数收敛于一个固定的值：

这一级数问题被称为巴塞尔(Basel)问题，所以不妨称这级数为巴塞尔级数.

再来看另一个类似的级数：

因为这级数的一般项

所以由比较审敛法可知该级数收敛，但如何求出这一级数的值呢？我们不妨再回头看巴塞尔级数，它的推导用到了傅里叶(Fourier)级数，即将$f(x)=x^2$展开为了三角级数.

(三角级数是将一个周期函数展开为正弦函数与余弦函数的和，具体展开式如下：)

我们对于类巴塞尔级数的推导也可从傅里叶级数，但展开的函数变为

其中$T$表示该函数的周期.将这函数傅里叶展开，可得

下面陈述一个重要定理：

若$x_0$是周期为$2\pi$的函数的第一类间断点，那么将$x_0$代入傅里叶级数，傅里叶级数收敛于

容易知道$\pi$是上面的函数的间断点，将$\pi$代入上面的式子，就有

(上式中的$\coth x$符号指$\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$，称为双曲余切)

这也就推出了上面级数的和.

但是这个式子仅当$k>0$时成立，如果我们希望这个式子能推出我们熟悉的巴塞尔级数，需要在等式两边对$k$取极限，使$k\to 0^{+}$.

于是只要求出等式右边的极限即可.

这极限中的$\coth$使极限变得复杂，于是将$\coth$中的$e^x$展开(因为$\coth$本身无法在$0$处展开)

这也就是巴塞尔级数.

接下来我们将上面级数的结论推导至$k\in\mathbb{R}$的情况.因为$\coth{\mathrm{i}x}=-\mathrm{i}\cot{x}$，所以可以得到

其中$k\neq1^2,2^2,\cdots$的条件是显然的，因为将这些值代入等式左右两边都无意义.