$\pi$和$e$是无理数的证明

证明$\pi$是无理数

用反证法，假设

构造函数

设$f(x)$展开后变为

容易发现$f(x)$在$0$处的$k(k \in \mathbb{Z}^+,k\leqslant n)$阶导数为$0\in \mathbb{Z}$.

而$f(x)$的$k(k \in \mathbb{Z}^+,k\geqslant n)$阶导数为

考察积分

反复运用分部积分法，可得

另一方面，当$x\in [0,\pi]$，有

当$n$充分大时，必有$\pi^{n+1}q^n<n!$，即$\frac{\pi^{n+1}q^n}{n!}<1$，那么$\int_{0}^{\pi}f(x)\sin{x}\,dx$不是整数，与先前它是整数的结论矛盾.
所以$\pi$不是有理数，是无理数. $\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D}$

证明$e$是无理数

同样也用反证法，假设

根据泰勒展开，知道

将等式$e=\frac{q}{p}$两边乘以$p\cdot n!$，得到

而

显然$p\cdot n!\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$是整数，记

当$n$足够大时，必有$p<n$，即$\frac{p}{n}<1$,$M$不是整数，与上面推出的$p \cdot n!\cdot e\in \mathbb{Z}$矛盾.所以$e$不是有理数，是无理数.

$\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D}$