泰勒公式

引入

$x \to 0$ 时，有

\sin x \sim x

e^{x} \sim x + 1

$\left\lvert x \right\rvert$ $f(x)$ $x_0$ $U(x_0)$ 能近似表达为这样一个多项式

P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n}

$x \to x_0$ $P_n(x)$ $f(x)$ $(x-x_0)^n$ $P_n(x)$ $x_0$ $n$ $f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}{(x_0)}$ ，即满足

f^{(n)} (x) = n! a_{n} + (n + 1)! a_{n + 1} (x - x_{0}) + \frac{(n + 2)!}{2!} a_{n + 2} (x - x_{0})^{2} + \dots

∴ f^{(n)} (x_{0}) = n! a_{n}

a_{n} = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_{0})

$P_n(x)$ ,可以得到

P_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

$f(x)$ $x_0$ $n$ $\exists \text{ } U(x_0)$ $\forall \text{ } x \in U(x_0)$ ，有

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

= \sum_{i = 0}^{n} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

其中

R_{n} (x) = o ((x - x_{0})^{n})

$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ ,则

R_{n} (x_{0}) = R_{n}^{'} (x_{0}) = R_{n}^{″} (x_{0}) = \dots = R_{n}^{(n)} (x_{0}) = 0

$f(x)$ $x_0$ $n$ $f(x)$ $x_0$ $(n-1)$ $R_n(x)$ $(n-1)$ 阶可导，反复运用洛必达法则，得到

\begin{aligned} lim_{x \to x_{0}} \frac{R_{n} (x)}{(x - x_{0})^{n}} \\ = & lim_{x \to x_{0}} \frac{R_{n}^{'} (x)}{n (x - x_{0})^{n - 1}} \\ = & lim_{x \to x_{0}} \frac{R_{n}^{″} (x)}{n (n - 1) (x - x_{0})^{n - 2}} \\ = & \dots \\ = & lim_{x \to x_{0}} \frac{R_{n}^{(n - 1)} (x)}{n! (x - x_{0})} \\ = & \frac{1}{n!} lim x \to x_{0} \frac{R_{n}^{(n - 1)} (x) - R_{n}^{(n - 1)} (x_{0})}{x - x_{0}} \\ = & \frac{1}{n!} R^{(n)} (x_{0}) = 0 \end{aligned}

∴ R_{n} (x) = o ((x - x_{0})^{n})

Q . E . D

$R_n(x)$ $o((x-x_0)^n)$ ，但它不能具体估计误差大小。下面的公式就解决了这个问题.

$f(x)$ $x_0$ $(n+1)$ $\exists \text{ } U(x_0)$ $\forall \text{ } x \in U(x_0)$ ，有

f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

其中

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1}

$\xi$ $x_0$ $x$ 之间的一个数. 证明该公式需要用到两个密切关联的定理.

$f(x)$ $[a,b]$ $(a,b)$ $f(a)=f(b)$ $(a,b)$ $\xi$ $f'(\xi)=0$ 这定理可由费马引理得出，这里不证.
$f(x)$ $F(x)$ $[a,b]$ $(a,b)$ $(a,b)$ $\xi$ 使等式

\frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{F^{'} (ξ)}

成立证明：构造辅助函数

φ (x) = f (x) - \frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} F (x)

注意到

φ (a) = \frac{f (a) F (b) - f (b) F (a)}{F (b) - F (a)}

φ (b) = \frac{f (a) F (b) - f (b) F (a)}{F (b) - F (a)}

∴ φ (a) = φ (b)

$\varphi(x)$ $\xi \in (a,b)$ ，使得等式

φ^{'} (ξ) = f^{'} (ξ) - \frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} F^{'} (ξ) = 0

成立即

\frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{F^{'} (ξ)}

Q . E . D

回到泰勒公式二的证明，我们有

R_{n} (x_{0}) = R_{n}^{'} (x_{0}) = R_{n}^{″} (x_{0}) = \dots = R_{n}^{(n)} (x_{0}) = 0

$R_n(x)$ $(x-x_0)^{n+1}$ 使用柯西中值定理(它们显然符合柯西中值定理的条件).

\frac{R_{n} x}{(x - x_{0})^{n + 1}} = \frac{R_{n} (x) - R_{n} (x_{0})}{(x - x_{0})^{n + 1} - 0} = \frac{R_{n}^{'} (ξ_{1})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n}} (ξ_{1} 在 x_{0} 与 x 之间)

同理可得

\frac{R_{n}^{'} (ξ_{1})}{(n + 1) (ξ_{1} - x_{0})^{n}} = \frac{R_{n} (ξ_{2})}{(n + 1) n (ξ_{2} - x_{0})^{n - 1}} (ξ_{2} 在 x_{0} 与 ξ_{1} 之间)

一直像这样进行下去，直到

\frac{R_{n} x}{(x - x_{0})^{n + 1}} = \frac{R_{n}^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (ξ 在 x_{0} 与 x 之间)

∵ P_{n}^{(n + 1)} (x) = 0

∴ R_{n}^{(n + 1)} (ξ) = f^{(n + 1)} (ξ)

∴ R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1} (ξ 在 x_{0} 与 x 之间)

Q . E . D