一元三次和四次方程的求根公式

$+$ $-$ $\times$ $\frac{m}{n}$ $\sqrt[k]{t}$ 符号表示的公式），但其推导颇为复杂，所以接下来不妨先从一元三次方程入手。解这个方程：

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

$a$ 后注意到它可以配方变为其他形式。配方后可以变为:

{(x + \frac{b}{3 a})}^{3} + \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}} (x + \frac{b}{3 a}) + \frac{27 a^{2} d - 9 a b c + 2 b^{3}}{27 a^{3}} = 0

令

x + \frac{b}{3 a} = y

p = \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}}

q = \frac{27 a^{2} d - 9 a b c + 2 b^{3}}{27 a^{3}}

那么可以得到：

y^{3} + p y + q = 0

$y=u+v$ ,则

(u + v)^{3} + p (u + v) + q = 0

展开后得到：

u^{3} + v^{3} + (u + v) (3 u v + p) + q = 0

$\because u ,v$ 任取,

$\therefore$ $u v=- \frac{p}{3}$ ,可得

u^{3} + v^{3} + q = 0

$u v=- \frac{p}{3}$ ,

u^{3} - \frac{p^{3}}{27 u^{3}} + q = 0

u^{6} + q u^{3} - \frac{p^{3}}{27} = 0

∴ u^{3} = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}

v^{3} = - \frac{q}{2} \mp \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}

然后就可以得到一元三次方程求根公式为：

\begin{aligned} x_{1} = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} - \frac{b}{3 a} \\ x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} + \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} - \frac{b}{3 a} \\ x_{3} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} + \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{3})}^{3} + {(\frac{q}{2})}^{2}}} - \frac{b}{3 a} \end{aligned}

其中

p = \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}}

q = \frac{27 a^{2} d - 9 a b c + 2 b^{3}}{27 a^{3}}

接下来仿照一元三次方程解一元四次方程

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0

同理可以变为

u^{4} + α u^{2} + β u + γ = 0

其中

α = \frac{- 3 b^{2} + 8 a b c}{8 a^{2}}

β = \frac{b^{3} - 4 a b c + 8 a^{2} d}{8 a^{3}}

γ = \frac{- 3 b^{4} + 16 a b^{2} c - 64 a^{2} b d + 256 a^{3} e}{256 a^{4}}

u = x + \frac{b}{4 a}

将等式左边配方

(u^{2} + y)^{2} = (2 y - u) u^{2} - β u - γ + y^{2}

$\Delta=0$ ,于是

Δ = β^{2} - 4 (2 y - α) (- γ + y^{2})

= - 8 y^{3} + 4 α y^{2} + 8 γ y + β^{2} - 4 α γ = 0

$y_0$ ，

(u^{2} + y_{0})^{2} = (2 y_{0} - α) [u - \frac{β}{2 (2 y_{0} - α)}]

u^{2} + y_{0} = \pm \sqrt{2 y_{0} - α} [u - \frac{β}{2 (2 y_{0} - α)}]

u^{2} \mp \sqrt{2 y_{0} - α} u + y_{0} \pm \frac{β}{2 \sqrt{2 y_{0} - α}} = 0

∴ u_{1, 2} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} \pm \sqrt{- 2 y_{0} - α - \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2}

u_{3, 4} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} \pm \sqrt{- 2 y_{0} - α + \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2}

∴ x_{1} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} + \sqrt{- 2 y_{0} - α - \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2} - \frac{b}{4 a}

x_{2} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} - \sqrt{- 2 y_{0} - α - \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2} - \frac{b}{4 a}

x_{3} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} + \sqrt{- 2 y_{0} - α + \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2} - \frac{b}{4 a}

x_{4} = \frac{\sqrt{2 y_{0} - α} - \sqrt{- 2 y_{0} - α + \frac{2 β}{\sqrt{2 y_{0} - α}}}}{2} - \frac{b}{4 a}

其中

α = \frac{- 3 b^{2} + 8 a b c}{8 a^{2}}

β = \frac{b^{3} - 4 a b c + 8 a^{2} d}{8 a^{3}}

γ = \frac{- 3 b^{4} + 16 a b^{2} c - 64 a^{2} b d + 256 a^{3} e}{256 a^{4}}

$y_0$ 是方程

- 8 y^{3} + 4 α y^{2} + 8 γ y + β^{2} - 4 α γ = 0

的一个解。

至此，我们已经推导出了一元三次、一元四次方程的求根公式。