$\pi$ $e$ 是无理数的证明

$\pi$ 是无理数

用反证法，假设

\begin{matrix} π = \frac{q}{p} \\ p, q \in Z^{+} \end{matrix}

构造函数

f (x) = \frac{x^{n} (q - p x)^{n}}{n!} = \frac{p^{n} x^{n} (π - x)^{n}}{n!}

$f(x)$ 展开后变为

f (x) = \frac{c_{0}}{n!} x^{n} + \frac{c_{1}}{n!} x^{n + 1} + \dots + \frac{c_{n}}{n!} x^{2 n}

$f(x)$ $0$ $k(k \in \mathbb{Z}^+,k\leqslant n)$ $0\in \mathbb{Z}$ .

$f(x)$ $k(k \in \mathbb{Z}^+,k\geqslant n)$ 阶导数为

f^{(k)} (x) = \frac{c_{k - n}}{n!} \cdot k! + \frac{c_{k - n + 1}}{n!} \cdot \frac{k!}{1!} \cdot x + \dots + \frac{c_{n}}{n!} \cdot \frac{k!}{(2 n - k)!} \cdot x^{2 n - k}

f^{(k)} (0) = \frac{c_{k - n}}{n!} \cdot k! \in Z^{+} (∵ k ⩾ n)

∴ \forall k \in Z, f^{(k)} (0) \in Z

∵ f (x) = f (π - x) ∴ f^{(k)} (π) \in Z

考察积分

\int_{0}^{π} f (x) \sin x d x

反复运用分部积分法，可得

\begin{aligned} \int_{0}^{π} f (x) \sin x d x \\ = & \int_{0}^{π} f (x) d (- \cos x) \\ = & f (x) (- \cos x) |_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos x f^{'} (x) d x \\ = & f (0) + f (π) + \int_{0}^{π} f^{'} (x) d (\sin x) \\ = & f (0) + f (π) + f^{'} (x) \sin x |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin x f^{″} (x) d x \\ = & f (0) + f (π) - f^{″} (0) - f^{″} (π) + \dots + (- 1)^{n} f^{(2 n)} (0) + (- 1)^{n} f^{(2 n)} (π) \in Z \end{aligned}

$x\in [0,\pi]$ ，有

0 ⩽ q - p x = p (π - x) ⩽ q

0 ⩽ \frac{p^{n} (π - x)^{n}}{n!} = \frac{x^{n} (q - p x)^{n}}{n!} ⩽ \frac{π^{n} q^{n}}{n!}

∴ 0 < \int_{0}^{π} f (x) \sin x d x ⩽ \int_{0}^{π} f (x) d x < \frac{π^{n + 1} q^{n}}{n!}

$n$ $\pi^{n+1}q^n<n!$ $\frac{\pi^{n+1}q^n}{n!}<1$ $\int_{0}^{\pi}f(x)\sin{x}\,dx$
$\pi$ $\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D}$

同样也用反证法，假设

\begin{matrix} e = \frac{q}{p} \\ p, q \in Z^{+} \end{matrix}

根据泰勒展开，知道

e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots

$e=\frac{q}{p}$ $p\cdot n!$ ，得到

p \cdot n! \cdot e = q \cdot n! \in Z

而

\begin{aligned} p \cdot n! \cdot e \\ = & p \cdot n! \cdot (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots) \\ = & p \cdot n! (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!}) \\ + p [\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} + \dots] \end{aligned}

$p\cdot n!\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ 是整数，记

\begin{matrix} M = p [\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} + \dots] \\ M < p [\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)^{2}} + \dots] = p \cdot \frac{\frac{1}{n + 1}}{1 - \frac{1}{n + 1}} = \frac{p}{n} \end{matrix}

$n$ $p<n$ $\frac{p}{n}<1$ $M$ $p \cdot n!\cdot e\in \mathbb{Z}$ $e$ 不是有理数，是无理数.

$\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D}$