$\sin{x}$ 无穷乘积式的应用

我们知道

sinc x = \frac{\sin x}{x} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{k^{2} π^{2}})

由这个式子可以推出一个有趣的结论.

$x=\dfrac{\pi}{2}$ .

\frac{2}{π} = \prod_{k = 1}^{\infty} [1 - \frac{1}{(2 k)^{2}}]

\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots = \frac{π}{2}

$Wallis$ 乘积.

$\zeta(2k)$ 的递推式，只不过我太懒不想写，直接证明了通项公式.

通项公式的内容参考这篇文章.

sin⁡x\sin{x}无穷乘积式的应用